segunda-feira, 23 de fevereiro de 2009

O rectângulo de ouro




A partir de uma folha de papel quadrada, podemos obter várias formas geométricas.

O rectângulo de ouro é uma delas! E já aqui falámos dele!

Um rectângulo de ouro, ou o rectângulo áureo é obtido como mostra a figura:



Seja a o comprimento do lado menor do rectângulo, e b o do maior. Como mostra a figura acima, o retângulo obtido depois de se retirar um quadrado de lado a, tem lados b − a e a.
Como estão na mesma proporção que os lados do rectângulo maior, verificamos que

e isolando b/a obtemos
O lado maior do rectângulo inicial ,de comprimento b, fica dividido em 2 segmentos ,de
comprimentos a e b − a, respectivamente.

Pode dizer-se, então, que o segmento menor está para o segmento maior, como este está para o segmento total.

Não é de estranhar que a Escola Pitagórica já conhecesse esta relação no século VI a.C., designada como “divisão de um segmento em extrema e média razão”, e que sua resolução geométrica apareça nos " Os Elementos de Euclides"

No Renascimento passou a ser chamada de “proporção divina”, numa obra homónima
do matemático Luca Pacioli, ilustrada por Leonardo da Vinci.

A partir do século XIX e até à actualidade, a "proporção divina "tornou-se mais conhecida como “razão de ouro” ou o " número de ouro" já aqui tratado há tempos!

A primeira aparição dessa designação data de 1835, num livro do matemático Martin Ohm.

Sendo a relação de ouro representada geralmente pela letras gregas ϕ ou Φ, (que se lê phi ou fi ).

Na arquitectura e na pintura argumenta-se que o rectângulo de ouro é considerado o mais equilibrado esteticamente facto que terá motivado o seu uso nas obras arquitectónicas e artísticas, tal como o Partenon, na Acrópole grega.

Contudo, este facto não é claramente comprovada cientificamente!

Entretanto, ϕ possui propriedades matemáticas muito interessantes uma delas é a relação o entre o lado de um pentágono regular e sua diagonal.

Lembremos que o símbolo da escola pitagórica era a estrela de cinco pontas, que é obtida traçando as diagonais de um pentágono regular.

Mas agora veremos como construir um rectângulo de ouro a partir de uma folha de papel quadrada, ou seja vamos dar início a dobragens de papel que nos levará a vários posts no mês de MARÇO, O MÊS DO ORIGAMI E O MÊS DO PI!

Mas agora é necessário provar que o rectángulo obtido é efectivamente o rectângulo de ouro!

É sem dúvida um bom exercício de geometria!

Analise-se o resultado final, observando a seguinte figura:

Queremos determinar a relaçãoo entre os lados do rectângulo resultante, x = AD/DC.

Como
AD = EC, então x = EC/DC. Pela semelhança dos triângulos [FEC] e [GDC], sabemos que


donde, por uma das propriedades das proporções



Para simplificar o cálculo, considere-se que o quadrado inicial tenha lados de comprimento 1.

Então, e pelo Teorema de Pitágoras,
Sabemos, também, que os ângulos α e β são iguais (do passo 4). Os ângulos β e γ são
agudos de lados paralelos e, portanto, iguais, o que implica que α = γ.

Consequentemente, o triângulo [AGC ] é isósceles, e


Então,

E substituindo os valores calculados na fórmula

obtemos finalmente

que é a razão áurea ou seja o número de ouro!

pelo que se prova que o rectângulo obtido através da dobragem da folha quadrada é um rectângulo de ouro!





Sem comentários: