segunda-feira, 23 de junho de 2008

Eratóstenes, o raio da Terra numa noite de Solstício

Há mais de 2000 anos, no solstício de Verão, Eratóstenes, matemático grego, geógrafo e astrónomo, utilizando as sombras projectadas pelo Sol em dois locais do actual Egipto e cálculos geométricos muito simples, foi capaz de determinar o raio da Terra com precisão.



Eratóstenes viveu entre 276 e 194 aC. Era bibliotecário na Grande Biblioteca de Alexandria e foi lá que encontrou, num velho papiro, indicações de que no dia 21 de Junho (solstício de Verão no hemisfério norte), ao meio-dia, o Sol refletia-se nas águas de um poço muito fundo situado na cidade de Syene (que ficava exatamente no limite da zona tropical e no mesmo meridiano de Alexandria) e a 800 km .

Pensou que para que a luz do Sol se pudesse refletir nas águas de um poço muito fundo, este deveria estar bem alinhado com o Sol, isto é, o Sol, o poço e o raio da Terra deveriam estar todos sobre uma mesma recta imaginária, ou por outras palavras, o Sol deveria estar no zénite, exatamente sobre a cabeça do observador.

Mas também lhe foi dito que ao mei-dia do dia 21 de Junho, em Sienna, uma vareta fincada no chão não produzia sombra!

Este facto não era observado em Alexandria e portanto Eratóstenes meditou sobre o facto de a Terra ser ou não ser plana!

Se fosse plana, a vareta não produzia sombra, ao meio dia de 21 de Junho quer em Sienna quer em Alexandria. E isso não acontecia, pelo que a Terra não é plana!- afirmou Erastótenes.


- A Terra deve ser curva!-

conjecturou Eratóstenes.





Efectuou experiências, com materiais e constactou que quanto mais curva fosse a superfície , maior seria a diferença no comprimento das sombras.

E este facto deveria passar-se com a Terra.



fig 4


Erastótenes pressupôs que os raios de luz do Sol chegavam à Terra paralelos ou pelo menos comportavam-se como tal, face à grande distência do Sol da Terra e que as varetas fincadas verticalmente no chão em lugares diferentes lançariam sombras de comprimentos distintos.


Eratóstenes decidiu,então, fazer mais uma experiência.

Ele mediu o comprimento da sombra em Alexandria ao meio-dia de 21 de Junho, quando a vareta em Siena não produzia sombra.

Assim obteve o ângulo A, conforme a fig 4. e fig 5





Eratóstenes mediu A=7° (aproximadamente).

com o Astrolábio

fig 5


Se as varetas estão na vertical, dá para imaginar , pensou Erastótenes, que se fossem longas o bastante iriam encontrar-se no centro da Terra.














fig.6




fig.7

Presta atenção às figuras 4 , 6 e 7

O ângulo B terá o mesmo valor que A, pois no desenho de Eratóstenes observas duas rectas paralelas interceptadas por uma secante produzem ângulos agudos iguais e ângulos btusos iguais.

Ora as rectas paralelas são os raios de luz do Sol e a recta transversal é a que passa pelo centro da Terra e pela vareta em Alexandria.


O ângulo B (também igual a 7°), é a uma fracção conhecida da circunferência da Terra e que corresponde à distância entre Siena e Alexandria!

Eratóstenes sabia que essa distância valia cerca de 800 km e então pensou: 7° é 1/50 da circunferência (360°) e isso corresponde a 800 km, aproximadamente.

Ora 800 x 50= 40 000 , 40 000 km, que corresponde ao comprimento da circunferência da Terra!

O valor actual é próximao de 40.072 km ao longo da linha do equador.

Um erro muito pequeno para uma medida tão simples, e calculada há tanto tempo!

Com o perímetro da circunferência, podes calcular o diâmetro e o raio ou ainda o volume e a área da superfície, através de fórmulas simples que aprendeste nas aulas.


clica na imagem para veres melhor!


Para o ano que vem, os alunos do 9º ano irão usar a Trigonometria na resolução destes mesmos problemas.


Uma Web-Quest que iremos usar para o ano.

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