quinta-feira, 3 de janeiro de 2008

Rectângulo de Ouro e sequências...






O rectângulo de ouro é um objecto matemático que tem uma forte presença nas artes
nomeadamente na arquitectura, na pintura e até na publicidade, e não é por acso que isto acontece, deve-se ao simples facto de ser o rectângulo mais agradável à vista, conforme testes psicotécnicos qu e o revelam.


E são chamados rectângulos de ouro porqwue, como no triângulo de ouro, a razão entre o seu lado maior e o menor é igual ao número de ouro.

Como se constroi o rectângulo de ouro?

1- Desenha um quadrado e divide-o ao meio.
2- Desenha o prolongamento do lado maior do rectângulo.
3- Num dos rectângulos obtidos traça a diagonal.
4- Com o compasso, traça um arco de circunferência, cujo raio é a diagonal
do rectângulo, até à base prolongada.
5- Pelo ponto de intersecção do arco com o segmento da base traça um
segmento perpendicular à base. Prolonga o lado superior do quadrado até encontrares este
último segmento para formar o rectângulo.

Mas há ainda uma outra forma de criar o Rectângulo de Ouro!

Vê a sequência...

Anexando dois quadrados de lado 1, obtemos um rectângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores.
Anexando agora outro quadrado de lado 2 (o maior lado do retângulo 2x1) tem-se um rectângulo3x2.
Continuando a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior, a sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Esta sucessão de rectângulos que acabámos de construir é designada por

Sucessão de Rectângulos de Fibonacci.

Uma particularidade da sucessão é que cada quadrado adicionado é um gnomon do rectângulo anterior.

Agora, usando um compasso, se traçares um quarto de círculo em cada quadrado de acordo com a figura abaixo, obtém-se uma espiral, denominada por Espiral de Fibonacci.

A Espiral de Fibonacci está presente tanto na natureza, como exemplo, apresentamos a Concha de Náutilus.
Este animal segue uma Espiral de Fibonacci e apresenta outras curiosidades, como por exemplo, a razão entre o diâmetro de cada espiral e a anterior é o número de ouro, para além disso cada espiral é um gnomon do próprio animal, à medida que ele cresce o número de espirais aumenta mas ele apresenta sempre o mesmo aspecto exterior.





Esta espiral para além de estar presente nos animais, encontra-se também na forma da nossa galáxia, no corpo humano, na arte.

Dürer

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