quinta-feira, 3 de janeiro de 2008

Gnómon





Na fortaleza de Sagres, isolado dos demais edifícios, ergue-se o Paiol da Pólvora provavelmente edificado em meados do século XVIII.
Destaca-se, entretanto, a Rosa dos Ventos, também denominada como Rosa dos Ventos do Infante D. Henrique, uma ampla estrutura que se considera remontar ao século XVI.
Revelada casualmente em 1921, representa uma estrela com 32 raios, simbolizando os rumos, inscrita num círculo, traçada no solo por seixos irregulares e que alguns autores crêem tratar-se de um Gnomon solar.



Samrat Yantra, o maior relógio de sol do mundo







No princípio do século XVIII o marajá Jai Shing II, interessado por M atemática e Astronomia, conhecedor dos instrumentos de observação e medida usados desde a Grécia Antiga e dos saberes perpetuados pela tradição islâmica, entendeu que a melhor maneira de fazer medições precisas era utilizar instrumentos de grande dimensão.
Mandou então construir na Índia cinco grandes observatórios astronómicos em locais diferentes: Jaipur, Mathura, Urjain, Varanasi e Delhi, actual capital.
Quatro ainda subsistem nos dias de hoje; apenas o de Mathura foi destruído.

mas ...




Mas o estudo dos gnómons remonta a 2300 anos, por Aristóteles e seus discípulos.

Em Geometria, se tivermos uma figura geométrica A, por exemplo um quadrado, o seu gnómon, é uma figura geométrica, que associada convenientemente à figura inicial,obtemos uma figura semelhante a esta.




Para uma mesma figura temos dois gnómons diferentes.



Mas antes de aprofundarmos o conceito Gnómon, devemos relembrar o conceito de semelhança
geométrica.


Dois objectos são semelhantes se um for obtido à escala de outro ( redução, ampliação ou igualdade).

Como, por exemplo, quando projectamos uma imagem numa tela, criamos uma imagem semelhante mas maior!


Consideremos agora um triângulo isósceles T, cujos vértices sãoB, C e D e as medidas dos seus ângulos são 72º, 72º e 36º, respectivamente.


Pretendemos um gnomon de T.


Como proceder?


Usando um método construtivo.
Consideremos um ponto A pertencente ao segmento CD, de modo que BC seja congruente com AB

O triângulo obtido T’ é isósceles como T, sendo o ângulo em A e o ângulo C congruentes,
logo os triângulos T e T' são semelhantes.

Já se encontrou o gnómon do triângulo T?
Não, ainda não! Mas já determinámos o gnómon do triângulo T', que é o triângulo G'.


O triângulo G' é também um triângulo isósceles cujos vértices são A, B e D e as medidas dos
seus ângulos são 108º, 36º e 36º, respectivamente.

Saliente-se que juntando-se T' a G', obtemos o triângulo inicial, T !

Como o triângulo T' é semelhante ao triângulo inicial T, juntando a um dos lados maiores do triângulo T, um triângulo isósceles cujos ângulos são 36º, 36º e 108º.


Agora já sabemos como determinar um gnómon para o triângulo inicial T, ou seja, para qualquer triângulo isósceles cujas amplitudes dos ângulos internos são 72º, 72º e 36º.

E se repetíssemos este processo indefinidamente?


Obteríamos uma série de triângulos isósceles do tipo 72º, 72º e 36º.

E o mais interessante é observar que:

  • a figura inicial e o seu gnómon sãao do mesmo tipo, neste caso são triângulos isósceles
  • todos os triângulos são do tipo 36º, 36º e 108º ou do tipo 72º, 72º e 36
e porque a razão entre um dos seus lados maiores e o menor é igual ao


são chamados

Triângulos de Ouro

Determinar a razão de ouro

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