quarta-feira, 30 de janeiro de 2008

Em momentos complicados...


aqui vos deixo "Gracias a la vida" de Violeta Parra






A fim de manter forças para continuar a lutar por uma melhor educação e ensino!

O futuro está em vós, e por vós...


Eu vejo esses peixes e vou de coração
Eu vejo essas matas e vou de coração à natureza
Telas falam colorido de crianças coloridas
De um gênio televisor
E no ardor de nossos novos santos
O sinal de velhos tempos
Morte, morte, morte ao amor
Eles não falam do mar e dos peixes
Nem deixam ver a moça, pura canção
Nem ver nascer a flor, nem ver nascer o sol
E eu apenas sou um a mais, um a mais
A falar dessa dor, a nossa dor
Desenhando nessas pedras
Tenho em mim todas as cores
Quando falo coisas reais
E no silêncio dessa natureza
Eu que amo meus amigos
Livre, quero poder dizer
Eu vejo esses peixes e dou de coração


Milton Nascimento



segunda-feira, 28 de janeiro de 2008

Enquanto....

Enquanto preparo mais um tópico com trabalhos dos alunos...
Quem me faz companhia!



Obrigada ao meu filho Filipe que me enviou esta linda foto de Barcelona!

domingo, 20 de janeiro de 2008

A Formiga e a Escada

PROBLEMA

DA AULA



Um artista construiu um monumento com 10 escadarias.

Concebeu a sua obra de maneira simples: para passar de uma escadaria para a seguinte, substituiu cada degrau por dois degraus com metade das dimensões, como mostra o projecto das três primeiras.



Uma sobe a décima escadaria, seguindo as setas, de A até B.


Qual é o comprimento do trajecto da formiga?


Aqui ficam algumas resoluções!






terça-feira, 15 de janeiro de 2008

De novo na escola ...


Uma breve passagem pela escola, numa tarde de Janeiro para receber, convosco, o Professor Nuno Crato!

Foi uma tarde super agradável ouvindo o Professor falar sobre o TinTin...

Os erros científicos de Hergé,o quanto Hergé estava a par da evolução da Ciência e da tecnologia... aqui

O que aprendemos!

Obrigado Professor!

E tão bem que todos se portaram, obrigada a todos!

E os alunos do 8ºA conheceram-no na grande Feira da Matemática , na qual participámos, lembram-se?




TinTin













quinta-feira, 3 de janeiro de 2008

Filmes e Matemática

Donald no País da Matemática




Donald e a Divina Proporção




Donald a Óptica e a Astronomia


Donald in Mathmagic Land (part 1)



Donald in Mathmagic Land ( part2)








Nestes dias de ausência, façam o trabalho que vos deixei e depois entretenham-se por aqui.


Sequências...

Os matemáticos antigos sustentavam a Matemática na correspondência entre objectos e números.

Segundo a tradição dos primeiros Pitagóricos, o ponto ( geométrico ) era a unidade ( aritmética) dotada de posição.

Uma das principais características da Escola Pitagórica e particularmente da aritmética desenvolvida por estes matemáticos é a representação dos números por uma construção geométrica de pontos equidistantes.

O primeiro número figurado ( consulta aqui os do Zéfiro) é sempre o 1, ou seja, um ponto .

Os Números Triangulares têm um número de pontos necessários para formar um
triângulo equilátero.

Assim, os termos 1, 3, 6, 10, 15, ...

formam a sequência dos números triangulares.

Mas esta sequência também pode ser representada por triângulos isósceles.

Os números quadrados são a sequência dos números de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

O 1º termo desta sequência , 1, é a área de um quadrado de lado 1;
O 2º termo desta sequência, 4, é a área de um quadrado de lado 2;

assim
O 10º termo desta sequência é 100 e
o n-ésimo termo desta sequência é o quadrado de n , n^2


Mas observe-se:

Cada número quadrado pode ser obtido à custa do anterior, acrescentando os pontos de um gnomom de"braços" e "espesssura" unitária:


Repara que os gnomons também formam sequência: 1, 3, 5, 7, 9,.....
que te parece ser esta sequência?

Exactamente! a sequência dos números impares cujo termo geral é u(n)=2n-1, como já vimos!


Sabes como é que os Pitagóricos chamavam aos números pares? - Oblongos!!!

Gnómon





Na fortaleza de Sagres, isolado dos demais edifícios, ergue-se o Paiol da Pólvora provavelmente edificado em meados do século XVIII.
Destaca-se, entretanto, a Rosa dos Ventos, também denominada como Rosa dos Ventos do Infante D. Henrique, uma ampla estrutura que se considera remontar ao século XVI.
Revelada casualmente em 1921, representa uma estrela com 32 raios, simbolizando os rumos, inscrita num círculo, traçada no solo por seixos irregulares e que alguns autores crêem tratar-se de um Gnomon solar.



Samrat Yantra, o maior relógio de sol do mundo







No princípio do século XVIII o marajá Jai Shing II, interessado por M atemática e Astronomia, conhecedor dos instrumentos de observação e medida usados desde a Grécia Antiga e dos saberes perpetuados pela tradição islâmica, entendeu que a melhor maneira de fazer medições precisas era utilizar instrumentos de grande dimensão.
Mandou então construir na Índia cinco grandes observatórios astronómicos em locais diferentes: Jaipur, Mathura, Urjain, Varanasi e Delhi, actual capital.
Quatro ainda subsistem nos dias de hoje; apenas o de Mathura foi destruído.

mas ...




Mas o estudo dos gnómons remonta a 2300 anos, por Aristóteles e seus discípulos.

Em Geometria, se tivermos uma figura geométrica A, por exemplo um quadrado, o seu gnómon, é uma figura geométrica, que associada convenientemente à figura inicial,obtemos uma figura semelhante a esta.




Para uma mesma figura temos dois gnómons diferentes.



Mas antes de aprofundarmos o conceito Gnómon, devemos relembrar o conceito de semelhança
geométrica.


Dois objectos são semelhantes se um for obtido à escala de outro ( redução, ampliação ou igualdade).

Como, por exemplo, quando projectamos uma imagem numa tela, criamos uma imagem semelhante mas maior!


Consideremos agora um triângulo isósceles T, cujos vértices sãoB, C e D e as medidas dos seus ângulos são 72º, 72º e 36º, respectivamente.


Pretendemos um gnomon de T.


Como proceder?


Usando um método construtivo.
Consideremos um ponto A pertencente ao segmento CD, de modo que BC seja congruente com AB

O triângulo obtido T’ é isósceles como T, sendo o ângulo em A e o ângulo C congruentes,
logo os triângulos T e T' são semelhantes.

Já se encontrou o gnómon do triângulo T?
Não, ainda não! Mas já determinámos o gnómon do triângulo T', que é o triângulo G'.


O triângulo G' é também um triângulo isósceles cujos vértices são A, B e D e as medidas dos
seus ângulos são 108º, 36º e 36º, respectivamente.

Saliente-se que juntando-se T' a G', obtemos o triângulo inicial, T !

Como o triângulo T' é semelhante ao triângulo inicial T, juntando a um dos lados maiores do triângulo T, um triângulo isósceles cujos ângulos são 36º, 36º e 108º.


Agora já sabemos como determinar um gnómon para o triângulo inicial T, ou seja, para qualquer triângulo isósceles cujas amplitudes dos ângulos internos são 72º, 72º e 36º.

E se repetíssemos este processo indefinidamente?


Obteríamos uma série de triângulos isósceles do tipo 72º, 72º e 36º.

E o mais interessante é observar que:

  • a figura inicial e o seu gnómon sãao do mesmo tipo, neste caso são triângulos isósceles
  • todos os triângulos são do tipo 36º, 36º e 108º ou do tipo 72º, 72º e 36
e porque a razão entre um dos seus lados maiores e o menor é igual ao


são chamados

Triângulos de Ouro

Determinar a razão de ouro

Rectângulo de Ouro e sequências...






O rectângulo de ouro é um objecto matemático que tem uma forte presença nas artes
nomeadamente na arquitectura, na pintura e até na publicidade, e não é por acso que isto acontece, deve-se ao simples facto de ser o rectângulo mais agradável à vista, conforme testes psicotécnicos qu e o revelam.


E são chamados rectângulos de ouro porqwue, como no triângulo de ouro, a razão entre o seu lado maior e o menor é igual ao número de ouro.

Como se constroi o rectângulo de ouro?

1- Desenha um quadrado e divide-o ao meio.
2- Desenha o prolongamento do lado maior do rectângulo.
3- Num dos rectângulos obtidos traça a diagonal.
4- Com o compasso, traça um arco de circunferência, cujo raio é a diagonal
do rectângulo, até à base prolongada.
5- Pelo ponto de intersecção do arco com o segmento da base traça um
segmento perpendicular à base. Prolonga o lado superior do quadrado até encontrares este
último segmento para formar o rectângulo.

Mas há ainda uma outra forma de criar o Rectângulo de Ouro!

Vê a sequência...

Anexando dois quadrados de lado 1, obtemos um rectângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores.
Anexando agora outro quadrado de lado 2 (o maior lado do retângulo 2x1) tem-se um rectângulo3x2.
Continuando a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior, a sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Esta sucessão de rectângulos que acabámos de construir é designada por

Sucessão de Rectângulos de Fibonacci.

Uma particularidade da sucessão é que cada quadrado adicionado é um gnomon do rectângulo anterior.

Agora, usando um compasso, se traçares um quarto de círculo em cada quadrado de acordo com a figura abaixo, obtém-se uma espiral, denominada por Espiral de Fibonacci.

A Espiral de Fibonacci está presente tanto na natureza, como exemplo, apresentamos a Concha de Náutilus.
Este animal segue uma Espiral de Fibonacci e apresenta outras curiosidades, como por exemplo, a razão entre o diâmetro de cada espiral e a anterior é o número de ouro, para além disso cada espiral é um gnomon do próprio animal, à medida que ele cresce o número de espirais aumenta mas ele apresenta sempre o mesmo aspecto exterior.





Esta espiral para além de estar presente nos animais, encontra-se também na forma da nossa galáxia, no corpo humano, na arte.

Dürer

terça-feira, 1 de janeiro de 2008